함수 그래프와 대칭점

문제풀이 (Problem solving)

 

Q: 점 P(-1, 2)를 다음에 대하여 대칭이동한 점 Q의 좌표를 Q(a, b)라 할 때, a - b의 값을 구하시오

y = 2x - 1

 

 

A: P(-1, 2)와 이에 대한 대칭점인 Q(a, b)를 선으로 이어서, 함수 y = 2x - 1과의 교점을 (c, d)라고 하자.

이 때, 교점 (c, d)와 점 P와 Q를 이은 선 PQ는 다음과 같은 특징을 지닌다.

   1) 그래프 y = 2x - 1 위에 존재한다.

   2) 점 P(-1, 2)와 Q(a, b)의 중점이다.

   3) 선 PQ는 그래프 y = 2x -1과 수직이다.

 

 

먼저 1)번과 2)번 특징을 이용하여 a, b의 관계를 알아보자.

(c, d)는 그래프 y = 2x -1 위에 존재하므로, d = 2c -1이다

또한 (c, d)는 점 P와 Q의 중점이므로 {a + (-1)} / 2 = c, (2 + b) / 2 = d이다.

이를 이용하여 연립방정식을 풀면,

 

d = 2c - 1

{a + (-1)} / 2 = c

(2 + b) / 2 = d

 

(2 + b) / 2 = {a + (-1)} - 1

(2 + b) / 2 = a - 2

(2 + b) = 2a - 4

b - 2a = - 6

2a - b = 6

 

3)번의 특징에 의해,  점 P와 Q를 이은 선 PQ는 그래프 y = 2x -1 와 수직이므로 기울기는 - 1/2이다.

(참고: 서로 수직관계인 두 그래프의 기울기를 곱하면 -1이다.)

선 PQ의 기울기는 - 1/2이므로,

 

(2 - b) / (-1 - a) = - 1/2 

2 (2 - b) / (-1 -a) = - 1

2 (2 - b) = 1 + a

4 - 2b = 1 + a

a = 3 - 2b

 

위에서 구한 식과 연립하면,

2a - b = 6

a = 3 - 2b

 

2(3 - 2b) - b = 6

6 - 4b - b = 6

6 - 5b = 6

5b = 0

b = 0

 

a = 3 - 2b이므로 b = 0일때,

a = 3

 

즉, a - b = 3