도형의 닮음 (Similarity of figures)

문제풀이 (Problem solving)

Q: 다음 그림과 같이 높이가 4cm인 원기둥의 한 밑면의 중심 O 위에 전등이 켜져 있다. 바닥에 생긴 그림자의 넓이가 원기둥의 밑면의 넓이가 3배가 되려면 전등을 중심 O에서 몇 cm의 높이에 달아야 하는지 구하여라.

Q: A lamp is lit above the center O of the bottom surface of a cylinder with a height of 4 cm as shown in the figure below. To make the area of the shadow on the floor three times the area of the bottom surface of the cylinder, find at what height above the center O the lamp should be hung.

 

 

A: 아래와 같이 도형을 선을 그어 점 A, B, C 및 원의 중심 O와 O'을 아래와 같이 표시해보자.

이 때, △ABO와 △ACO'는 닮은꼴이다.

A: Let's draw lines on the shape as shown below to mark points A, B, C, and the centers of the circles, O and O'.
In this case, △ABO and △ACO' are similar triangles.

 

원의 넓이는 π X r X r이므로 바닥의 그림자 넓이가 원기둥 밑면의 넓이의 3배가 되려면 OB와 O'C의 길이의 비는 1:√3이다.   

△ABO와 △ACO'는 닮은꼴이므로, AO와 AO'의 길이비 역시 1:√3이다.

AO의 길이를 y, AO'의 길이를 √3y라고 한다면, 

The area of a circle is given by π × r × r, so for the shadow on the floor to be three times the area of the base of the cylinder, the ratio of the lengths OB to O'C is 1:√3.
Since △ABO and △ACO' are similar triangles, the ratio of AO to AO' is also 1:√3.
Let's denote the length of AO as y and the length of AO' as √3y.

 

√3y - y = 4

(√3 - 1) y = 4

y = 4 / (√3 - 1)

y = 4 (√3 + 1) / (√3 - 1) (√3 + 1)

y = 4 (√3 + 1) / 2

y = 2 (√3 + 1)

 

즉, 전등을 중심 O에서 달아야 하는 높이인 y는 2 (√3 + 1) cm이다.

Therefore, the height y at which the lamp should be hung from the center O is 2(√3 + 1) cm.