문제풀이 (Problem solving)
Q: △ABC에서 AD가 ∠A의 외각의 이등분선일 때, △ABC와 △ACD의 넓이의 비는?
Q: When AD is an external angle bisector of ∠A in △ABC, what is the ratio of the areas of △ABC to △ACD?
A: 이와 같은 유형의 문제를 풀 때, 주어진 도형에서 닮은꼴의 도형을 찾아내면 쉽게 문제를 풀 수 있다.
When solving problems of this type, identifying similar figures within the given figures makes it easier to solve the problem
AD가 ∠A의 외각의 이등분선이라는 것을 이용하여, 같은 각을 지니는 도형들을 찾아보자
아래 그림과 같이 AD에 연장선을 긋고, C를 지나면서 AD와 평행한 선을 하나 더 그어보자.
그리고 C를 지나면서 AD와 평행한 선과 AB가 만나는 지점을 E라고 하자.
Let's use the fact that AD is an external angle bisector of ∠A to find similar figures with the same angle.
Extend AD as shown in the figure below, and draw another line parallel to AD passing through C.
Let the point where the line parallel to AD passing through C intersects with AB be E.
AC는 평행한 선인 AD와 CE를 가로지르는 선이므로 ∠CAD와 ∠ACD는 같다.
또한 AB는 평행한 선인 AD와 CE를 가로지르는 선이므로 ∠DAG와 ∠AEC는 같다.
그렇다면 △ACE는 두 변의 각이 같은 이등변삼각형이므로 AC와 AE의 길이는 같다.
따라서 AE의 길이는 4 cm, BE의 길이는 1 cm이다.
Since AC is a line parallel to AD and intersects CE, angles ∠CAD and ∠ACD are equal.
Furthermore, AB is a line parallel to AD and intersects CE, so angles ∠DAG and ∠AEC are equal.
Therefore, △ACE is an isosceles triangle with equal angles, making AC and AE equal in length.
Hence, AE measures 4 cm, and BE measures 1 cm.
AD와 CE는 평행선이므로 ∠ADB와 ∠ECB는 같고, ∠BAD와 ∠BEC도 같다.
따라서 △ABD와 △BCE는 닮은꼴 삼각형이다.
Since AD and CE are parallel lines, angles ∠ADB and ∠ECB are equal, and angles ∠BAD and ∠BEC are also equal.
Therefore, △ABD and △BCE are similar triangles.
A로부터 선 BD와 수직인 선을 그어 이와 만나는 점을 F라고 하자.
그렇다면 △ABC와 △ACD의 넓이의 비는 다음과 같다.
Let's draw a line perpendicular to BD from point A and denote the point of intersection as F.
Then, the ratio of the areas of △ABC and △ACD is as follows.
△ABC의 넓이(area of △ABC) = BC X AF X 1/2
△ACD의 넓이(area of △ACD) = CD X AF X 1/2
즉 △ABC와 △ACD의 넓이의 비는 BC:CD와 같다.
그런데, △ABD와 △BCE가 닮은꼴 삼각형이므로 BC와 BD의 비는 BE와 AB의 비와 같은 1:5이다.
BC와 BD의 비가 1:5이므로 BC와 CD의 비는 1:4이다.
따라서 △ABC와 △ACD의 넓이의 비는 1:4이다.
Thus, the ratio of the areas of △ABC and △ACD is the same as the ratio of BC to CD.
However, since △ABD and △BCE are similar triangles, the ratio of BC to BD is the same as the ratio of BE to AB, which is 1:5.
Since the ratio of BC to BD is 1:5, the ratio of BC to CD is 1:4.
Therefore, the ratio of the areas of △ABC and △ACD is 1:4.
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